На главную страницу / Математический анализ / Интегральное исчисление

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Статьи
Чем неопределенный интеграл отличается от первообразной?
Интеграл от натурального логарифма
Интегралы от секанса и косеканса
Нахождение интегралов вида
Интеграл от иррациональной функции
Интегрирование дифференциального бинома

Чем неопределенный интеграл отличается от первообразной?

Неопределенный интеграл - это совокупность всех первообразных. Наоборот, если вместо произвольной постоянной интеграла взять конкретное число, то получим одну из первообразных.
Пример неопределенного интеграла и первообразных.

Наверх


Меню раздела


На главную страницу



Интеграл от натурального логарифма

Интеграл от натурального логарифма находится методом интегрирования по частям.
Аналогично можно найти интеграл от логарифма во второй степени. Но при этом метод интегрирования по частям придется применить дважды.

Наверх


Меню раздела


На главную страницу



Интегралы от секанса и косеканса

Представление секанса и косеканса через косинус и синус.
Необходимо найти интеграл от синуса в минус первой степени. К знаменателю применяем формулу синуса двойного угла.
После разложения знаменателя на множители умножаем и тут же делим его на косинус половинного угла. В результате выделяем тангенс половинного угла, а также квадрат косинуса половинного угла.
Замечаем, что единица, деленная на квадрат косинуса - это производная тангенса. Поэтому его можно записать под знаком дифференциала, а затем найти получившийся табличный интеграл.
Установили, что интеграл синуса в степени минус один равен натуральному логарифму модуля тангенса половинного угла с точностью до постоянного слагаемого.
Рассмотрим теперь интеграл от косинуса в минус первой степени. Воспользуемся предыдущим результатом. Для этого косинус x в знаменателе представим при помощи формулы приведения через синус.
Теперь в знаменателе можно записать синус угла, равного сумме x и половине числа pi.
Применяем формулу синуса двойного угла и упрощаем аргумент.
Умножаем и тут же делим на косинус полученного угла, вносим тангенс под знак дифференциала и интегрируем.
Интеграл от косинуса в минус первой степени с точностью до постоянного слагаемого равен логарифму модуля тангенса суммы половины аргумента и pi/4.
Приведено решение при помощи замены переменной в помощь тем, кому тяжело дается метод внесения функции под знак дифференциала.
Еще один интеграл вычисляем при помощи введения новой переменной.

Наверх


Меню раздела


На главную страницу



Нахождение интегралов вида


Наверх


Меню раздела


На главную страницу



Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальный бином можно рационализировать только в трех случаях. Даны замены переменной для каждого случая.
Рассмотрен конкретный пример приведения интеграла от дифференциального бинома к интегралу от рациональной функции.
Завершение примера. Возвращение к первоначальной переменной.

Наверх


Меню раздела


На главную страницу



This site was made on Tilda — a website builder that helps to create a website without any code
Create a website
How to remove this block? About platform Submit a complaint