На главную страницу / Материалы на Яндекс Дзен
Все заголовки и картинки в этом разделе кликабельны

Материалы
на Яндекс Дзен

Карточка статьи "Как СЛАУ записать в матричной форме" серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Если ввести матрицы коэффициентов, неизвестных и свободных членов, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать очень компактно.

Карточка статьи "Как вычислить логарифм отрицательного числа" серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Принято считать, что под знаком логарифма может стоять только положительное число.

Однако над полем комплексных чисел логарифм отрицательного числа существует.

Карточка статьи "Почему при вычислении интеграла прибавляют число c?" серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Часто при вычислении интеграла студенты забывают писать "+c".

Но записи "F(x)" и "F(x)+c" соответствуют разным математическим понятиям.

Карточка статьи "Как связаны dx и дельта x? " серии "Простые ответы на трудные вопросы"

"Приращение" и "дифференциал" - разные понятия.

Почему же для независимой переменной x они совпадают?

Карточка статьи "Почему под знаком интеграла пишут dx? " серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Без "dx" интеграл не имеет смысла.

Разбираемся в причинах этого.

Карточка статьи "Почему ноль не является натуральным числом? " серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Натуральные числа - это числа, которые используются при счете предметов.

Если предметов нет, то их количество - ноль.

Почему же ноль - не натуральное число?

Карточка статьи "Почему математика делится на алгебру и геометрию? " серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Разбираем разницу между разделами математики и учебными математическими дисциплинами.

Карточка статьи "Правда ли, что на ноль делить нельзя? " серии "Простые ответы на трудные вопросы"

В высшей математике при делении конечного ненулевого числа на ноль получают бесконечность.

В школе говорили, что на ноль делить нельзя.

Есть ли противоречие?

Карточка статьи "Каких чисел больше: целых или натуральных?" серии "Простые ответы на трудные вопросы"

Научным языком: "Мощность какого множества больше?"

Ответ очень неожиданный...

Карточка статьи "Как избежать решения уравнения четвертой степени"

При помощи удачной замены переменной уравнение четвертой степени сводится к квадратному.

Карточка статьи "Логарифмическое уравнение с параметром, в котором все логарифмы имеют разные основания" серии "Нестандартные задачи"

Красивая задача, в которой для упрощения суммы логарифмов используется арифметическая прогрессия.

Карточка статьи "Логарифмическое выражение с двумя параметрами. Как упростить?" серии "Нестандартные задачи"

В начале надо увидеть формулу сокращенного умножения. Еще один ключевой момент - правильно раскрыть модуль после извлечения корня.

Карточка статьи "Легким движением руки сумма превращается... " серии "Нестандартные задачи"

Как данную сумму представить в виде произведения нескольких логарифмов?

Карточка статьи "Как сравнить логарифмы без калькулятора? " серии "Нестандартные задачи"

Сначала приводим логарифмы к общему основанию.

Но это еще не все...

Карточка статьи "Задание на упрощение при выполнении условия " серии "Нестандартные задачи"

Можно выразить b через a (или наоборот).

А можно найти  более интересное решение...

Карточка статьи "Тригонометрическое уравнение. Простейшее, но не очень простое " серии "Нестандартные задачи"

Здесь - суперпозиция функций (функция от функции).

К тому же надо учесть множество ограничений.

Карточка статьи "Как записать любое натуральное число с помощью трех двоек? " серии "Нестандартные задачи"

Да, именно любое число...

Способ описан Перельманом Я. И. в "Занимательной математике".

Карточка статьи "Любое квадратное уравнение имеет ровно два корня. Почему в школе говорят по-другому? " серии "Нестандартные задачи"

Важно, над каким полем решать уравнение.

В средней школе все действия производятся только над полем действительных чисел. Именно поэтому говорят, что при отрицательном дискриминанте корней нет.

Карточка статьи "Олимпиадная задача на теорему Виета" серии "Нестандартные задачи"

Задача сводится к тому, чтобы выразить сумму четвертых степеней двух чисел через их сумму и произведение.

Карточка статьи "Теорема о средней линии.Самое короткое доказательство" серии "Нестандартные задачи"

Простота решения достигается за счет удачного применения векторного метода

Для вычисления заданной суммы необходимо в непривычной ситуации узнать формулы дифференциального исчисления, увидеть арифметическую прогрессию и не забыть про особый случай.

Карточка статьи "Вычисляем интеграл при помощи простейших геометрических построений" серии "Нестандартные задачи"

Обычно площадь криволинейной трапеции вычисляют при помощи определенного интеграла. В этом задании, наоборот, площадь криволинейной трапеции найти легко, а вычислить интеграл - сложно.

Карточка статьи "Опечатки нет. Стоит знак "плюс". Как разложить на множители" серии "Нестандартные задачи"

Сначала надо использовать искусственный прием. После чего будут видны формулы сокращенного умножения.

Карточка статьи "Иррациональное уравнение с двумя корнями? Решаем в уме!" серии "Нестандартные задачи"

Необычный подход к решению: используется монотонность фунций.

Самое сложное в заданиях на поиск производных высших порядков - увидеть закономерность и выписать общую формулу. Разбираем на примере, как это делать.

Карточка статьи "Произвожная сложной функции? Легко!" серии "Лайфаки для студентов"

Для тех, кому не дается тема "Производная сложной функции". Разбираем, как избежать ошибок.

Карточка статьи "Если ни одна формула не подходит..." серии "Лайфаки для студентов"

Применение логарифмического дифференцирования для вычисления показательно-степенной функции

Карточка статьи "Что такое логарифмическое дифференцирование?" серии "Лайфаки для студентов"

Логарифмическое дифференцирование позволяет избежать громоздких вычислений

Карточка статьи "Корни, о которых не рассказывали в школе" серии "Лайфаки для студентов"

Извлекаем корни из действительных чисел по формулам комплексного анализа, а затем сравниваем с тем, что изучали в школе.

Карточка статьи "Способ извлечения корня, о котором знают не все. Используем показательную форму комплексного числа" серии "Лайфаки для студентов"

Зная тригонометрическую форму комплексного числа, легко перейти к показательной форме. Разбираем, как извлечь корень в этом случае.

Карточка статьи "Извлечение корня в комплексном случае. Как проще?" серии "Лайфаки для студентов"

Рассматривается способ извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

На практике чаще всего используется именно этот метод.

Карточка статьи "Как извлечь корень из комплексного числа?" серии "Лайфаки для студентов"

Приводится пример извлечения корня из комплексного числа в алгебраической форме.

Карточка статьи "Чему равна единица в бесконечной степени?" серии "Лайфаки для студентов"

Почему единица в бесконечной степени - это неопределенность?

Карточка статьи "Бесконечность делим на бесконечность. Нуль делим на нуль" серии "Лайфаки для студентов"

Убеждаемся на примерах, что при делении может получится все что угодно.

Карточка статьи "Бесконечность минус бесконечность. Каков результат?" серии "Лайфаки для студентов"

Бесконечность плюс бесконечность - бесконечность. Бесконечность минус бесконечность - неопределенность. Разбираемся в причинах.

Карточка статьи "Задание, которое неправильно понимают почти все студенты" серии "Лайфаки для студентов"

Основная причина неправильного решения подобных заданий - неправильное определение количества множителей в числителе и знаменателе каждого слагаемого.

Карточка статьи "Предел выражения с корнями можно вычислить в уме" серии "Лайфаки для студентов"

Корень можно представить в виде степени. Поэтому теорему о пределе отношения многочленов при аргументе, стремящемся к бесконечности, можно обобщить на случай отношения двух иррациональных функций.

Карточка статьи "Как кусочно-гладкую функцию превратить в непрерывно дифференцируемую?" серии "Задачи студенческих олимпиад"

В задаче надо подобрать параметр так, чтобы и функция, и ее производная стали непрерывными.

Карточка статьи "Олимпиадная задача-провокация" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Задача выглядит стандартной. Из-за этого легко потерять второе решение.

Карточка статьи "Задачи студенческих олимпиад. Суперпозиция синусов под знаком интеграла" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Интеграл выглядит жутковато. Но ответ можно получить почти устно. Надо только внимательно приглядеться.

Карточка статьи "6-я и 4-я степени под знаком интеграла. Олимпиадное задание" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Метод неопределенных коэффициентов приводит к очень большим вычислениям. Поэтому ищем другой способ.

Карточка статьи "Необычный интеграл" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Интеграл из сборника олимпиадных заданий для студентов. Интеграл является циклическим. Однако надо найти замену переменной...

Карточка статьи "Олимпиадный интеграл" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Для вычисления интеграла необходима комбинация множества разных способов.

Карточка статьи "Достаточно простая олимпиадная задача" серии "Задачи студенческих олимпиад"

Тригонометрия, преобразование иррациональных выражений и свойства бесконечно малых... Все это используется при вычислении предела.

Карточка статьи "Ященко И.В. Профиль. Сборник-2021. Вариант 26, задание 13" серии "Задачи профильного ЕГЭ"

Рассмотрены два способа нахождения общего решения тригонометрического уравнения. Первый способ основан на применении формул двойного угла. Второй - на применении формул разности тригонометрических функций. Отбор корней, удовлетворяющих заданному условию, происходит при помощи составления и решения двойного неравенства.

Карточка статьи "Задание ЕГЭ. Логарифмическое неравенство с модулем" серии "Задачи профильного ЕГЭ"

При решении следует учитывать, что основание логарифма может быть как больше, так и меньше единицы, т.е. необходимо рассмотреть два случая. Дополнительную сложность создает наличие модулей.

Карточка галереи "Простейшее тригонометрическое уравнение с параметром" серии "Задачи профильного ЕГЭ"

Решение зависит от значения параметра a. При а=2 уравнение имеет бесконечно много решений. Если же a не равно 2, то необходимо небольшое исследование.

Карточка статьи "3 задания на применения формул приведения" серии "Задачи профильного ЕГЭ"

Вспоминаем формулы приведения... Разобраны задания разного уровня сложности.

Карточка статьи "Надо ли решать в лоб?" серии "Нестандартные задачи"

Система уравнений решается устно, если сделать удачную замену переменной

Карточка видео "Необычная задача на арифметическую прогрессию" серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Разбираем задание, в котом применяются свойства как арифметической прогрессии, так и логарифма.

Карточка статьи "Бесконечная сумма под знаком логарифма. Как решать?" серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и свойства логарифма - в одном задании.

Карточка статьи "От двойного угла к половинному. Барнаульский педагогический, 1981" серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Задание можно использовать для закрепления формул синуса и косинуса двойного угла.

Карточка статьи "Сумма кубов и тригонометрия. Днепропетровский университет, 1981 г." серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Для того, чтобы начать преобразование левой части тождества, используем формулу суммы кубов.

Карточка статьи "МАИ, 1977 г. Задание со вступительных экзаменов" серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Упрощение выражения основано на многократном применении формул сокращенного умножения

Карточка статьи "Вспомним, как это было. ВТУЗ ЗИЛ, 1977" серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"

Разбираем задание на упрощение выражения.

Во время приведения дробей к общему знаменателю важно обращать внимание на знаки.

This site was made on Tilda — a website builder that helps to create a website without any code
Create a website